Enumeration of rational points on projective schemes - Schemes

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# Enumeration of rational points on projective schemes

Naive algorithms for enumerating rational points over \(\QQ\) or finite fields over for general schemes.

Warning

Incorrect results and infinite loops may occur if using a wrong function. (For instance using an affine function for a projective scheme or a finite field function for a scheme defined over an infinite field.)

EXAMPLES:

Projective, over \(\QQ\):

Sage

    sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_rational_field
    sage: P.<X,Y,Z> = ProjectiveSpace(2, QQ)
    sage: C = P.subscheme([X + Y - Z])
    sage: enum_projective_rational_field(C, 3)
    [(-2 : 3 : 1), (-1 : 1 : 0), (-1 : 2 : 1), (-1/2 : 3/2 : 1),
     (0 : 1 : 1), (1/3 : 2/3 : 1), (1/2 : 1/2 : 1), (2/3 : 1/3 : 1),
     (1 : 0 : 1), (3/2 : -1/2 : 1), (2 : -1 : 1), (3 : -2 : 1)]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_rational_field
    >>> P = ProjectiveSpace(Integer(2), QQ, names=('X', 'Y', 'Z',)); (X, Y, Z,) = P._first_ngens(3)
    >>> C = P.subscheme([X + Y - Z])
    >>> enum_projective_rational_field(C, Integer(3))
    [(-2 : 3 : 1), (-1 : 1 : 0), (-1 : 2 : 1), (-1/2 : 3/2 : 1),
     (0 : 1 : 1), (1/3 : 2/3 : 1), (1/2 : 1/2 : 1), (2/3 : 1/3 : 1),
     (1 : 0 : 1), (3/2 : -1/2 : 1), (2 : -1 : 1), (3 : -2 : 1)]

Projective over a finite field:

Sage

    sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_finite_field
    sage: E = EllipticCurve('72').change_ring(GF(19))                                   # needs sage.schemes
    sage: enum_projective_finite_field(E)                                               # needs sage.schemes
    [(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 1), (3 : 0 : 1), (4 : 9 : 1), (4 : 10 : 1),
     (6 : 6 : 1), (6 : 13 : 1), (7 : 6 : 1), (7 : 13 : 1), (9 : 4 : 1),
     (9 : 15 : 1), (12 : 8 : 1), (12 : 11 : 1), (13 : 8 : 1), (13 : 11 : 1),
     (14 : 3 : 1), (14 : 16 : 1), (15 : 0 : 1), (16 : 9 : 1), (16 : 10 : 1),
     (17 : 7 : 1), (17 : 12 : 1), (18 : 9 : 1), (18 : 10 : 1)]

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_finite_field
    >>> E = EllipticCurve('72').change_ring(GF(Integer(19)))                                   # needs sage.schemes
    >>> enum_projective_finite_field(E)                                               # needs sage.schemes
    [(0 : 1 : 0), (1 : 0 : 1), (3 : 0 : 1), (4 : 9 : 1), (4 : 10 : 1),
     (6 : 6 : 1), (6 : 13 : 1), (7 : 6 : 1), (7 : 13 : 1), (9 : 4 : 1),
     (9 : 15 : 1), (12 : 8 : 1), (12 : 11 : 1), (13 : 8 : 1), (13 : 11 : 1),
     (14 : 3 : 1), (14 : 16 : 1), (15 : 0 : 1), (16 : 9 : 1), (16 : 10 : 1),
     (17 : 7 : 1), (17 : 12 : 1), (18 : 9 : 1), (18 : 10 : 1)]

AUTHORS:

- David R. Kohel <kohel@maths.usyd.edu.au>: original version.

- John Cremona and Charlie Turner <charlotteturner@gmail.com> (06-2010): improvements to clarity and documentation.

- Raghukul Raman <raghukul.raman01@gmail.com> (2018): Added sieve algorithm

sage.schemes.projective.projective_rational_point.enum_projective_finite_field(X)

  Enumerates projective points on scheme `X` defined over a finite field.

  INPUT:

  - `X` – a scheme defined over a finite field or a set of abstract rational points of such a scheme

  OUTPUT:

  A list containing the projective points of `X` over the finite field, sorted.

  EXAMPLES:

  Sage

      sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_finite_field
      sage: F = GF(53)
      sage: P.<X,Y,Z> = ProjectiveSpace(2, F)
      sage: len(enum_projective_finite_field(P(F)))
      2863
      sage: 53^2 + 53 + 1
      2863

  Python

      >>> from sage.all import *
      >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_finite_field
      >>> F = GF(Integer(53))
      >>> P = ProjectiveSpace(Integer(2), F, names=('X', 'Y', 'Z',)); (X, Y, Z,) = P._first_ngens(3)
      >>> len(enum_projective_finite_field(P(F)))
      2863
      >>> Integer(53)**Integer(2) + Integer(53) + Integer(1)
      2863

  Sage

      sage: # needs sage.rings.finite_rings
      sage: F = GF(9, 'a')
      sage: P.<X,Y,Z> = ProjectiveSpace(2,F)
      sage: C = Curve(X^3 - Y^3 + Z^2*Y)                                              # needs sage.schemes
      sage: enum_projective_finite_field(C(F))                                        # needs sage.schemes
      [(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 1), (0 : 2 : 1), (1 : 1 : 0), (a + 1 : 2*a : 1),
       (a + 1 : 2*a + 1 : 1), (a + 1 : 2*a + 2 : 1), (2*a + 2 : a : 1),
       (2*a + 2 : a + 1 : 1), (2*a + 2 : a + 2 : 1)]

  [Python]

      >>> from sage.all import *
      >>> # needs sage.rings.finite_rings
      >>> F = GF(Integer(9), 'a')
      >>> P = ProjectiveSpace(Integer(2),F, names=('X', 'Y', 'Z',)); (X, Y, Z,) = P._first_ngens(3)
      >>> C = Curve(X**Integer(3) - Y**Integer(3) + Z**Integer(2)*Y)                                              # needs sage.schemes
      >>> enum_projective_finite_field(C(F))                                        # needs sage.schemes
      [(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 1), (0 : 2 : 1), (1 : 1 : 0), (a + 1 : 2*a : 1),
       (a + 1 : 2*a + 1 : 1), (a + 1 : 2*a + 2 : 1), (2*a + 2 : a : 1),
       (2*a + 2 : a + 1 : 1), (2*a + 2 : a + 2 : 1)]

  Sage

      sage: F = GF(5)
      sage: P2F.<X,Y,Z> = ProjectiveSpace(2, F)
      sage: enum_projective_finite_field(P2F)
      [(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 2 : 1), (0 : 3 : 1), (0 : 4 : 1),
       (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 2 : 1), (1 : 3 : 1),
       (1 : 4 : 1), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 2 : 1), (2 : 3 : 1),
       (2 : 4 : 1), (3 : 0 : 1), (3 : 1 : 0), (3 : 1 : 1), (3 : 2 : 1), (3 : 3 : 1),
       (3 : 4 : 1), (4 : 0 : 1), (4 : 1 : 0), (4 : 1 : 1), (4 : 2 : 1), (4 : 3 : 1),
       (4 : 4 : 1)]

  Python

      >>> from sage.all import *
      >>> F = GF(Integer(5))
      >>> P2F = ProjectiveSpace(Integer(2), F, names=('X', 'Y', 'Z',)); (X, Y, Z,) = P2F._first_ngens(3)
      >>> enum_projective_finite_field(P2F)
      [(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 2 : 1), (0 : 3 : 1), (0 : 4 : 1),
       (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 2 : 1), (1 : 3 : 1),
       (1 : 4 : 1), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 2 : 1), (2 : 3 : 1),
       (2 : 4 : 1), (3 : 0 : 1), (3 : 1 : 0), (3 : 1 : 1), (3 : 2 : 1), (3 : 3 : 1),
       (3 : 4 : 1), (4 : 0 : 1), (4 : 1 : 0), (4 : 1 : 1), (4 : 2 : 1), (4 : 3 : 1),
       (4 : 4 : 1)]

  ALGORITHM:

  Checks all points in projective space to see if they lie on `X`.

  Warning

  If `X` is defined over an infinite field, this code will not finish!

  AUTHORS:

  - John Cremona and Charlie Turner (06-2010).

sage.schemes.projective.projective_rational_point.enum_projective_number_field(X, **kwds)

  Enumerates projective points on scheme `X` defined over a number field.

  Simply checks all of the points of absolute height of at most `B` and adds those that are on the scheme to the list.

  This algorithm computes 2 lists: L containing elements x in \(K\) such that H_k(x) <= B, and a list L’ containing elements x in \(K\) that, due to floating point issues, may be slightly larger then the bound. This can be controlled by lowering the tolerance.

  ALGORITHM:

  This is an implementation of the revised algorithm (Algorithm 4) in [DK2013]. Algorithm 5 is used for imaginary quadratic fields.

  INPUT: keyword arguments:

  - `bound` – a real number

  - `tolerance` – a rational number in (0,1] used in Doyle-Krumm algorithm-4

  - `precision` – the precision to use for computing the elements of bounded height of number fields

  OUTPUT: a sorted list containing the projective points of `X` of absolute height up to `B`

  EXAMPLES:

  Sage

      sage: # needs sage.rings.number_field
      sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_number_field
      sage: u = QQ['u'].0
      sage: K = NumberField(u^3 - 5, 'v')
      sage: P.<x,y,z> = ProjectiveSpace(K, 2)
      sage: X = P.subscheme([x - y])
      sage: enum_projective_number_field(X(K), bound=RR(5^(1/3)), prec=2^10)          # needs sage.symbolic
      [(0 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (-1 : -1 : 1), (1 : 1 : 1)]

  Python

      >>> from sage.all import *
      >>> # needs sage.rings.number_field
      >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_number_field
      >>> u = QQ['u'].gen(0)
      >>> K = NumberField(u**Integer(3) - Integer(5), 'v')
      >>> P = ProjectiveSpace(K, Integer(2), names=('x', 'y', 'z',)); (x, y, z,) = P._first_ngens(3)
      >>> X = P.subscheme([x - y])
      >>> enum_projective_number_field(X(K), bound=RR(Integer(5)**(Integer(1)/Integer(3))), prec=Integer(2)**Integer(10))          # needs sage.symbolic
      [(0 : 0 : 1), (1 : 1 : 0), (-1 : -1 : 1), (1 : 1 : 1)]

  Sage

      sage: # needs sage.rings.number_field
      sage: u = QQ['u'].0
      sage: K = NumberField(u^2 + 3, 'v')
      sage: A.<x,y> = ProjectiveSpace(K, 1)
      sage: X = A.subscheme(x - y)
      sage: enum_projective_number_field(X, bound=2)
      [(1 : 1)]

  [Python]

      >>> from sage.all import *
      >>> # needs sage.rings.number_field
      >>> u = QQ['u'].gen(0)
      >>> K = NumberField(u**Integer(2) + Integer(3), 'v')
      >>> A = ProjectiveSpace(K, Integer(1), names=('x', 'y',)); (x, y,) = A._first_ngens(2)
      >>> X = A.subscheme(x - y)
      >>> enum_projective_number_field(X, bound=Integer(2))
      [(1 : 1)]

sage.schemes.projective.projective_rational_point.enum_projective_rational_field(X, B)

  Enumerate projective, rational points on scheme `X` of height up to bound `B`.

  INPUT:

  - `X` – a scheme or set of abstract rational points of a scheme

  - `B` – a positive integer bound

  OUTPUT:

  A list containing the projective points of `X` of height up to `B`, sorted.

  EXAMPLES:

  Sage

      sage: P.<X,Y,Z> = ProjectiveSpace(2, QQ)
      sage: C = P.subscheme([X + Y - Z])
      sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_rational_field
      sage: enum_projective_rational_field(C(QQ), 6)
      [(-5 : 6 : 1), (-4 : 5 : 1), (-3 : 4 : 1), (-2 : 3 : 1),
       (-3/2 : 5/2 : 1), (-1 : 1 : 0), (-1 : 2 : 1), (-2/3 : 5/3 : 1),
       (-1/2 : 3/2 : 1), (-1/3 : 4/3 : 1), (-1/4 : 5/4 : 1),
       (-1/5 : 6/5 : 1), (0 : 1 : 1), (1/6 : 5/6 : 1), (1/5 : 4/5 : 1),
       (1/4 : 3/4 : 1), (1/3 : 2/3 : 1), (2/5 : 3/5 : 1), (1/2 : 1/2 : 1),
       (3/5 : 2/5 : 1), (2/3 : 1/3 : 1), (3/4 : 1/4 : 1), (4/5 : 1/5 : 1),
       (5/6 : 1/6 : 1), (1 : 0 : 1), (6/5 : -1/5 : 1), (5/4 : -1/4 : 1),
       (4/3 : -1/3 : 1), (3/2 : -1/2 : 1), (5/3 : -2/3 : 1), (2 : -1 : 1),
       (5/2 : -3/2 : 1), (3 : -2 : 1), (4 : -3 : 1), (5 : -4 : 1),
       (6 : -5 : 1)]
      sage: enum_projective_rational_field(C,6) == enum_projective_rational_field(C(QQ),6)
      True

  Python

      >>> from sage.all import *
      >>> P = ProjectiveSpace(Integer(2), QQ, names=('X', 'Y', 'Z',)); (X, Y, Z,) = P._first_ngens(3)
      >>> C = P.subscheme([X + Y - Z])
      >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import enum_projective_rational_field
      >>> enum_projective_rational_field(C(QQ), Integer(6))
      [(-5 : 6 : 1), (-4 : 5 : 1), (-3 : 4 : 1), (-2 : 3 : 1),
       (-3/2 : 5/2 : 1), (-1 : 1 : 0), (-1 : 2 : 1), (-2/3 : 5/3 : 1),
       (-1/2 : 3/2 : 1), (-1/3 : 4/3 : 1), (-1/4 : 5/4 : 1),
       (-1/5 : 6/5 : 1), (0 : 1 : 1), (1/6 : 5/6 : 1), (1/5 : 4/5 : 1),
       (1/4 : 3/4 : 1), (1/3 : 2/3 : 1), (2/5 : 3/5 : 1), (1/2 : 1/2 : 1),
       (3/5 : 2/5 : 1), (2/3 : 1/3 : 1), (3/4 : 1/4 : 1), (4/5 : 1/5 : 1),
       (5/6 : 1/6 : 1), (1 : 0 : 1), (6/5 : -1/5 : 1), (5/4 : -1/4 : 1),
       (4/3 : -1/3 : 1), (3/2 : -1/2 : 1), (5/3 : -2/3 : 1), (2 : -1 : 1),
       (5/2 : -3/2 : 1), (3 : -2 : 1), (4 : -3 : 1), (5 : -4 : 1),
       (6 : -5 : 1)]
      >>> enum_projective_rational_field(C,Integer(6)) == enum_projective_rational_field(C(QQ),Integer(6))
      True

  Sage

      sage: P3.<W,X,Y,Z> = ProjectiveSpace(3, QQ)
      sage: enum_projective_rational_field(P3, 1)
      [(-1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 0 : 1), (-1 : -1 : 1 : 0), (-1 : -1 : 1 : 1),
       (-1 : 0 : -1 : 1), (-1 : 0 : 0 : 1), (-1 : 0 : 1 : 0), (-1 : 0 : 1 : 1),
       (-1 : 1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 0 : 0), (-1 : 1 : 0 : 1), (-1 : 1 : 1 : 0),
       (-1 : 1 : 1 : 1), (0 : -1 : -1 : 1), (0 : -1 : 0 : 1), (0 : -1 : 1 : 0),
       (0 : -1 : 1 : 1), (0 : 0 : -1 : 1), (0 : 0 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 0),
       (0 : 0 : 1 : 1), (0 : 1 : -1 : 1), (0 : 1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0 : 1),
       (0 : 1 : 1 : 0), (0 : 1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : 0 : 1),
       (1 : -1 : 1 : 0), (1 : -1 : 1 : 1), (1 : 0 : -1 : 1), (1 : 0 : 0 : 0),
       (1 : 0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1 : 0), (1 : 0 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : 1),
       (1 : 1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0 : 1), (1 : 1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1 : 1)]

  [Python]

      >>> from sage.all import *
      >>> P3 = ProjectiveSpace(Integer(3), QQ, names=('W', 'X', 'Y', 'Z',)); (W, X, Y, Z,) = P3._first_ngens(4)
      >>> enum_projective_rational_field(P3, Integer(1))
      [(-1 : -1 : -1 : 1), (-1 : -1 : 0 : 1), (-1 : -1 : 1 : 0), (-1 : -1 : 1 : 1),
       (-1 : 0 : -1 : 1), (-1 : 0 : 0 : 1), (-1 : 0 : 1 : 0), (-1 : 0 : 1 : 1),
       (-1 : 1 : -1 : 1), (-1 : 1 : 0 : 0), (-1 : 1 : 0 : 1), (-1 : 1 : 1 : 0),
       (-1 : 1 : 1 : 1), (0 : -1 : -1 : 1), (0 : -1 : 0 : 1), (0 : -1 : 1 : 0),
       (0 : -1 : 1 : 1), (0 : 0 : -1 : 1), (0 : 0 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 0),
       (0 : 0 : 1 : 1), (0 : 1 : -1 : 1), (0 : 1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0 : 1),
       (0 : 1 : 1 : 0), (0 : 1 : 1 : 1), (1 : -1 : -1 : 1), (1 : -1 : 0 : 1),
       (1 : -1 : 1 : 0), (1 : -1 : 1 : 1), (1 : 0 : -1 : 1), (1 : 0 : 0 : 0),
       (1 : 0 : 0 : 1), (1 : 0 : 1 : 0), (1 : 0 : 1 : 1), (1 : 1 : -1 : 1),
       (1 : 1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0 : 1), (1 : 1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1 : 1)]

  ALGORITHM:

  We just check all possible projective points in correct dimension of projective space to see if they lie on `X`.

  AUTHORS:

  - John Cremona and Charlie Turner (06-2010)

sage.schemes.projective.projective_rational_point.sieve(X, bound)

  Return the list of all projective, rational points on scheme `X` of height up to `bound`.

  Height of a projective point \(X = (x_1, x_2,\dots, x_n)\) is given by \(H_X = \max(y_1, y_2,\dots, y_n)\), where the values \(y_i\) are the normalized coordinates such that all \(y_i\) are integers and \(\gcd(y_1, y_2,\dots, y_n) = 1\).

  ALGORITHM:

  Main idea behind the algorithm is to find points modulo primes and then reconstruct them using chinese remainder theorem. We find modulo primes parallelly and then lift them and apply LLL in parallel.

  For the algorithm to work correctly, sufficient primes need to be present, these are calculated using the bound given in this([Hutz2015]) paper.

  INPUT:

  - `X` – a scheme with ambient space defined over projective space

  - `bound` – positive integer bound

  OUTPUT:

  A list containing the projective rational points of `X` of height up to `bound`, sorted

  EXAMPLES:

  Sage

      sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import sieve
      sage: P.<x,y,z,q> = ProjectiveSpace(QQ, 3)
      sage: Y = P.subscheme([x^2 - 3^2*y^2 + z*q, x + z + 4*q])
      sage: sorted(sieve(Y, 12))              # long time                             # needs sage.libs.singular
      [(-4 : -4/3 : 0 : 1), (-4 : 4/3 : 0 : 1),
       (-1 : -1/3 : 1 : 0), (-1 : 1/3 : 1 : 0)]

  Python

      >>> from sage.all import *
      >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import sieve
      >>> P = ProjectiveSpace(QQ, Integer(3), names=('x', 'y', 'z', 'q',)); (x, y, z, q,) = P._first_ngens(4)
      >>> Y = P.subscheme([x**Integer(2) - Integer(3)**Integer(2)*y**Integer(2) + z*q, x + z + Integer(4)*q])
      >>> sorted(sieve(Y, Integer(12)))              # long time                             # needs sage.libs.singular
      [(-4 : -4/3 : 0 : 1), (-4 : 4/3 : 0 : 1),
       (-1 : -1/3 : 1 : 0), (-1 : 1/3 : 1 : 0)]

  Sage

      sage: from sage.schemes.projective.projective_rational_point import sieve
      sage: E = EllipticCurve('37a')                                                  # needs sage.schemes
      sage: sorted(sieve(E, 14))              # long time                             # needs sage.libs.singular sage.schemes
      [(0 : 1 : 0),
       (-1 : -1 : 1),
       (-1 : 0 : 1),
       (0 : -1 : 1),
       (0 : 0 : 1),
       (1/4 : -5/8 : 1),
       (1/4 : -3/8 : 1),
       (1 : -1 : 1),
       (1 : 0 : 1),
       (2 : -3 : 1),
       (2 : 2 : 1),
       (6 : 14 : 1)]

  [Python]

      >>> from sage.all import *
      >>> from sage.schemes.projective.projective_rational_point import sieve
      >>> E = EllipticCurve('37a')                                                  # needs sage.schemes
      >>> sorted(sieve(E, Integer(14)))              # long time                             # needs sage.libs.singular sage.schemes
      [(0 : 1 : 0),
       (-1 : -1 : 1),
       (-1 : 0 : 1),
       (0 : -1 : 1),
       (0 : 0 : 1),
       (1/4 : -5/8 : 1),
       (1/4 : -3/8 : 1),
       (1 : -1 : 1),
       (1 : 0 : 1),
       (2 : -3 : 1),
       (2 : 2 : 1),
       (6 : 14 : 1)]