Περιήγηση στο Sage

Skip to content
Back to top
View this page
Edit this page

# Καλώς ήρθατε στο Sage

Αυτή είναι μία σύντομη περιήγηση στο Sage και στην χρήση του ως αριθμομηχανή.

Η γραμμή εντολών στο Sage εκκινεί με το μήνυμα προτροπής «`sage:`». Για πειραματισμό με τα ακόλουθα παραδείγματα, αρκεί να εισαγάγετε το μέρος μετά το μήνυμα προτροπής.

Sage

    sage: 3 + 5
    8

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> Integer(3) + Integer(5)
    8

Εάν χρησιμοποιείτε το Sage σε σημειωματάριο Jupyter, τότε – παρομοίως – τοποθετείστε τα πάντα έπειτα του μηνύματος προτροπής εντός ενός κελιού εισαγωγής, και πατήστε `Shift`-`Enter` για να λάβετε την αντίστοιχη έξοδο.

Το σύμβολο εκθέτη σημαίνει «ύψωση σε δύναμη».

Sage

    sage: 57.1^100
    4.60904368661396e175

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> RealNumber('57.1')**Integer(100)
    4.60904368661396e175

Υπολογίζουμε τον αντίστροφο ενός \(2 \times 2\) πίνακα στο Sage.

Sage

    sage: matrix([[1, 2], [3, 4]])^(-1)
    [  -2    1]
    [ 3/2 -1/2]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> matrix([[Integer(1), Integer(2)], [Integer(3), Integer(4)]])**(-Integer(1))
    [  -2    1]
    [ 3/2 -1/2]

Εδώ υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα μίας απλής συνάρτησης.

Sage

    sage: x = var('x')   # δημιουργίας συμβολικής μεταβλητής
    sage: integrate(sqrt(x) * sqrt(1 + x), x)
    1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1)
    - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> x = var('x')   # δημιουργίας συμβολικής μεταβλητής
    >>> integrate(sqrt(x) * sqrt(Integer(1) + x), x)
    1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1)
    - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Εδώ το Sage καλείται να λύσει μία δευτεροβάθμια εξίσωση. Το σύμβολο `==` αντιπροσωπεύει την ισότητα στο Sage.

Sage

    sage: a = var('a')
    sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S
    [x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> a = var('a')
    >>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S
    [x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα από ισότητες.

Sage

    sage: S[0].rhs()  # δεξί μέρος της εξίσωσης (rhs = right hand side)
    -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> S[Integer(0)].rhs()  # δεξί μέρος της εξίσωσης (rhs = right hand side)
    -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2

Το Sage μπορεί να παραγάγει γραφήματα για διάφορες συναρτήσεις.

Sage

    sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber('1.6')*x), Integer(0), Integer(40)))

Το Sage είναι μία πολύ ισχυρή αριθμομηχανή. Για να το δείτε αυτό, δημιουργείστε έναν \(500 \times 500\) πίνακα με τυχαίους αριθμούς.

Sage

    sage: m = random_matrix(RDF, 500)

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> m = random_matrix(RDF, Integer(500))

Το Sage χρειάζεται ένα δευτερόλεπτο για τον υπολογισμό και την γραφική παρουσίαση των ιδιοτιμών του πίνακα.

Sage

    sage: e = m.eigenvalues()  # περίπου 1 δευτερόλεπτο
    sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
    sage: show(points(w))

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> e = m.eigenvalues()  # περίπου 1 δευτερόλεπτο
    >>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
    >>> show(points(w))

Το Sage μπορεί να διαχειριστεί τεράστιους αριθμούς, ακόμα και με εκατομμύρια ή δισεκατομμύρια ψηφία.

Sage

    sage: factorial(100)
    93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> factorial(Integer(100))
    93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

Sage

    sage: n = factorial(1000000)  # περίπου 1 δευτερόλεπτο
    sage: len(n.digits())
    5565709

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> n = factorial(Integer(1000000))  # περίπου 1 δευτερόλεπτο
    >>> len(n.digits())
    5565709

Εδώ υπολογίζουμε τουλάχιστον 100 ψηφία του αριθμού \(\pi\).

Sage

    sage: N(pi, digits=100)
    3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> N(pi, digits=Integer(100))
    3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Εδώ το Sage παραγοντοποιεί ένα πολυώνυμο δύο μεταβλητών.

Sage

    sage: R.<x,y> = QQ[]
    sage: F = factor(x^99 + y^99)
    sage: F
    (x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
    (x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
     x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
    (x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
     x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
     x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
     x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
     x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
     x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
    sage: F.expand()
    x^99 + y^99

Python

    >>> from sage.all import *
    >>> R = QQ['x, y']; (x, y,) = R._first_ngens(2)
    >>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))
    >>> F
    (x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
    (x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
     x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
    (x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
     x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
     x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
     x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
     x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
     x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
    >>> F.expand()
    x^99 + y^99

Το Sage χρειάζεται λιγότερο από 1 δευτερόλεπτο για να υπολογίσει τους τρόπους με τους οποίους ο αριθμός 100 εκατομμύρια μπορεί να γραφεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων.

Sage

    sage: z = Partitions(10^8).cardinality()  # περίπου .1 δευτερόλεπτα
    sage: z
    1760517045946249141360373894679135204009...

[Python]

    >>> from sage.all import *
    >>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality()  # περίπου .1 δευτερόλεπτα
    >>> z
    1760517045946249141360373894679135204009...

Το Sage είναι το πιο προηγμένο λογισμικό ανοιχτού κώδικα για μαθηματικά στον κόσμο.